Oberflächen und Rauminhalte

Nachfolgend präsentieren wir Ihnen die wesentlichsten geometrischen Körper sowie die Methoden zur Berechnung ihres jeweiligen Volumens (Rauminhalts).

Charakteristisch für einen Quader ist die orthogonale Ausrichtung (der senkrechte Stand) sämtlicher Seiten zueinander, was impliziert, dass stets vier (4) Seitenflächen parallel zueinander liegen und identische Längen aufweisen. Nachfolgend sind dessen Hauptmerkmale aufgeführt:

Flächen: sechs (6) an der Zahl
Kanten: zwölf (12) an der Zahl
Ecken: acht (8) an der Zahl
Oberfläche: O = 2·(a·c+a·b+b·c)
Volumen: V = a·b·c

An dieser Stelle lässt sich der Quader detaillierter dreidimensional betrachten.

Ein Würfel stellt eine spezielle Ausprägung des Quaders dar, da bei ihm, analog zum Quader, sämtliche Seitenflächen orthogonal zueinander ausgerichtet sind, doch zeichnet er sich dadurch aus, dass im Falle des Würfels alle Kanten die gleiche Länge besitzen!

Flächen: sechs (6) an der Zahl
Kanten: zwölf (12) an der Zahl
Ecken: acht (8) an der Zahl
Oberfläche: O = 6·a·a
Volumen: V = a·b·c = a·a·a

Hierbei besteht die Möglichkeit, den Würfel nochmals detaillierter dreidimensional zu inspizieren.

Ein Prisma, als geometrischer Körper, setzt sich aus zwei parallelen und kongruenten (deckungsgleichen) Grundflächen zusammen, die in der Regel als Polygone (Vielecke) geformt sind, wobei am häufigsten Dreiecke anzutreffen sind, ergänzt durch eine Mantelfläche, die sich aus Rechtecken zusammensetzt. Folglich lässt sich ein Quader als ein spezielles Prisma definieren, dessen Grundfläche die Form eines Rechtecks aufweist.

Flächen: Die Anzahl hängt von der Form der Grundfläche ab; ist die Grundfläche ein Dreieck, beträgt die Anzahl der Flächen fünf (5).
Kanten: Ebenso hängt die Anzahl der Kanten von der Beschaffenheit der Grundfläche ab; bei einer dreieckigen Grundfläche beläuft sie sich auf neun (9).
Ecken: Auch die Eckenanzahl wird durch die Grundfläche bestimmt; im Falle eines Dreiecks sind es sechs (6) Ecken.
Oberfläche: O=2·Grundfläche+Mantelfläche
Mantelfläche: M=UmfangGrundfläche·Höhe
Volumen: V = Grundfläche · Höhe

An dieser Stelle haben Sie die Möglichkeit, ein Prisma einmal dreidimensional zu visualisieren.

Eine Pyramide formiert sich aus einer Basisfläche (Grundfläche), welche typischerweise ein Polygon (Vieleck) darstellt, beispielsweise ein Dreieck, Viereck oder Ähnliches, sowie einem Scheitelpunkt (Spitze) oberhalb dieser Grundfläche. Sämtliche Eckpunkte der Grundfläche werden sodann mit diesem Scheitelpunkt verbunden, wodurch die Pyramidenform komplettiert wird.

Flächen: Die Anzahl der Flächen hängt von der Beschaffenheit der Grundfläche ab; handelt es sich bei der Grundfläche um ein Viereck, sind es fünf (5) Flächen.
Kanten: Die Zahl der Kanten richtet sich ebenfalls nach der Grundfläche; im Falle einer viereckigen Grundfläche sind acht (8) Kanten vorhanden.
Ecken: Die Eckenanzahl wird wiederum von der Grundfläche bestimmt; bei einem Viereck beläuft sich diese auf fünf (5).
Oberfläche: O=Grundfläche+Mantelfläche
Volumen: V = Grundfläche · Höhe · 1/3

An dieser Stelle ist es möglich, eine Pyramide nochmals detaillierter dreidimensional zu betrachten.

Ein Zylinder, als Körper, wird aus zwei identischen Grundflächen gebildet, bei denen es sich um Kreise handelt, sowie einer Mantelfläche, die diese beiden Basen miteinander vereint.

Flächen: drei (3) Oberflächen
Kanten: zwei (2) Kanten
Ecken: null (0)
Oberfläche: O = 2·π·r·(r+h) (2·Grundfläche+Mantelfläche)
Volumen:V = π·r²·h
Mantelfläche: M = 2·π·r·h
Grundfläche: G = π·r²

An dieser Stelle bietet sich die Gelegenheit, einen Zylinder dreidimensional zu begutachten.

Ein Kegel setzt sich aus einer kreisförmigen Grundfläche zusammen sowie einer Spitze (einem Scheitelpunkt) oberhalb dieser Basis, die sodann durch die Mantelfläche mit der Grundfläche verknüpft wird.

Flächen: zwei (2) Flächen
Kanten: eine (1) Kante
Ecken: eine (1)
s (Länge von der Spitze bis zum äußeren Rand der Grundfläche): √(r²+h²)
Oberfläche: O=π·r²+π·r·s (Grundfläche+Mantelfläche)
Volumen:V = 1/3·π·r²·h
Mantelfläche: M = π·r·s
Grundfläche: G = π·r²

Es ist hierbei möglich, einen Kegel dreidimensional zu erfassen.

Eine Kugel zeichnet sich dadurch aus, dass sie lediglich aus einer einzigen Oberfläche besteht und demzufolge keinerlei Ecken oder Kanten aufweist. Ein gängiges Beispiel hierfür ist ein Fußball, der die Form einer Kugel besitzt.

Flächen: eine (1)
Kanten: null (0)
Ecken: null (0)
Oberfläche: O=4·π·r²=π·d²
Volumen:V = 4/3·π·r³

An dieser Stelle ist es möglich, eine Kugel dreidimensional zu betrachten, wobei dies jedoch nicht sonderlich beeindruckend ist, da die Form einer Kugel von jedem Blickwinkel aus identisch erscheint.